Conjuntos: o alicerce de toda a Matemática

Por Victor Pompêo, professor do Anglo Vestibulares

Você já deve ter ouvido que a Matemática é a rainha das ciências. Essa frase, atribuída a Carl Friedrich Gauss (um brilhante matemático que viveu entre os séculos XVIII e XIX), nasce da observação de que, enquanto a maior parte das ciências trata de uma gama específica de assuntos, a Matemática provê métodos e ferramentas que ajudam a pensar e modelar problemas que muitas vezes não parecem ter muito a ver com seu campo de atuação. O estudo de funções pode ajudar a prever o clima ou fazer parte do projeto de um novo modelo de avião; a estatística é parte fundamental da epidemiologia e das ciências sociais; a análise combinatória encontra espaço no projeto de jogos, estipulando a quantidade de cenários possíveis de serem encontrados. E, como a base comum que sustenta todos esses assuntos, encontramos os conjuntos.

"Toda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noção de conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser expressos. Ela é também a mais simples das ideias matemáticas." (Elon Lages Lima)

Fundamentalmente, um conjunto é uma coleção de objetos. Por "objetos" você pode entender qualquer coisa: podemos definir o conjunto das comidas preferidas de uma certa pessoa, das camisetas presentes no seu armário, dos números pares positivos ou mesmo o conjunto formado por todos os três conjuntos anteriores. Naturalmente, na Matemática de Ensino Médio, são mais frequentes os conjuntos numéricos: eles aparecem, por exemplo, no estudo de números, organizando-os em naturais, inteiros, racionais e reais; em equações e inequações, agrupando suas soluções válidas; no estudo de funções, especificando o universo dos valores válidos para as variáveis; na probabilidade, no conceito de espaço amostral.

Para além de sua importância fundacional na Matemática, os conjuntos ajudam a resolver problemas bastante práticos, os quais também aparecem nos exames com frequência: situações em que dada população é subdividida em grupos menores, de cujos tamanhos conhecemos algumas informações.  Por exemplo: se numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História, quantos alunos gostam das duas disciplinas?

Nesse problema, é essencial perceber que os 30 alunos estão, na verdade, divididos em quatro grupos disjuntos:

– os que gostam apenas de Matemática;

– os que gostam apenas de História;

– os que gostam das duas disciplinas;

– os que não gostam de nenhuma delas.

Assim, a informação do enunciado de que 16 alunos gostam de Matemática se refere, na verdade, a dois dos grupos: aos alunos que gostam apenas de Matemática e aos que gostam de Matemática e de História. A soma dessas duas quantidades é igual a 16. De maneira análoga, a soma da quantidade de alunos que gostam apenas de História e dos que gostam de Matemática e de História é igual a 20. Se não conhecermos o número de pessoas que faz parte da interseção dos conjuntos considerados (nesse caso, os conjuntos são definidos por "gostar de História" e "gostar de Matemática"), podemos representar esse valor por uma incógnita e encontrar o número de elementos dos outros conjuntos em função dela.

Em suma, os conjuntos são a base da linguagem com que a Matemática é descrita, e, assim, é essencial para o vestibulando ser capaz de ler enunciados e escrever resoluções fazendo uso dela. Assim como problemas contextualizados exigem habilidades de leitura e interpretação de texto, problemas teóricos demandam proficiência na linguagem de conjuntos para serem compreendidos. E entender o que propõe o enunciado é o primeiro e mais importante passo a ser dado para resolver cada problema.