A segunda fase de alguns dos principais vestibulares do país possui a prova no modelo dissertativo, ou seja, a resolução das questões exige que os candidatos mostrem a forma pela qual chegaram aos resultados apresentados. Muitas vezes, representar o raciocínio empregado pode ser um desafio e comprometer a pontuação a que se deseja chegar.

Independentemente do componente curricular da prova, deve-se tomar um cuidado especial ao comando da questão. Em Matemática, por exemplo, apesar da maioria das questões girarem em torno da tríade “resolva-determine-calcule”, alguns comandos não habituais aparecem, como prove, mostre, represente, construa, justifique, entre outros.

A ideia da representação permeia uma avaliação dissertativa em Matemática. É por meio dela que o candidato expressa o raciocínio lógico empregado para a resolução da questão. Representar pode ser feito, por exemplo, utilizando–se uma tabela, um gráfico, uma figura geométrica, um “diagrama de Venn” ou um “diagrama de árvore”. Muitas vezes, o simbolismo matemático empregado numa representação é mais claro que uma justificativa escrita.

Não é aconselhável minimizar demais uma resolução de forma que as indicações do racicínio (as contas) não consigam dar a dimensão exata ao examinador das justificativas necessárias para a comprovação do resultado. Uma modelagem algébrica, por exemplo, é muito mais eficaz; no entanto, na falta dela, explique (disserte, sem exageros), o que você pensou.

Uma característica das provas de Matemática da segunda fase é a mistura de assuntos. É muito comum uma mesma questão abordar geometria plana, espacial e trigonometria; ou questões de funções associadas às equações polinomiais; e a clássica dupla combinatória-probabilidade sempre está presente. O encadeamento entre os itens, caso existam, é outro fator a ser considerado. Em muitos casos, há uma progressão no grau de dificuldade entre eles e, em casos mais extremos, cada item aborda assuntos distintos, ou seja, independentes entre si.

Outro cuidado essencial é na organização da resolução no caderno de respostas. Respeite o espaço indicado e mostre cuidadosamente ao examinador clareza e linearidade no raciocínio. Por fim, além das dicas “técnicas” e específicas, sempre vale lembrar os cuidados que se deve ter em qualquer exame:

– durma bem na véspera da prova;

– alimente-se adequadamente;

– evite deixar questões sem resposta. Atente-se às unidades de medida!

– faça pausas estratégicas. A questão do tempo, tão importante na 1ª fase, aqui possui outra dimensão;

– leia a prova, elenque as questões mais fáceis e comece por elas. Essa atitude fortalece a sua confiança para encarar os exercícios mais difíceis;

– confie na sua preparação.

Boas provas!

Estamos em uma contagem regressiva de tempo para as provas dos principais vestibulares do nosso país.  Nesse período, o nível de ansiedade e tensão dos alunos cresce quase que exponencialmente e uma das perguntas que mais escuto dos meus alunos é: “o que fazer nessa reta final de estudos”? Minha resposta está conectada com uma frase que sempre digo nas aulas: “as ideias se repetem”.

A partir disso, minha sugestão é que os alunos resolvam as questões dos 10 últimos anos dos concursos que irão participar. A conexão da minha sugestão com a frase que cito em minhas aulas pode ser ilustrada nas duas questões de provas antigas da FUVEST que apresentarei a seguir:

(Fuvest 2022)  Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi:

1. a) R$ 10,00 b) R$ 15,00   c) R$ 20,00   d) R$ 25,00   e) R$ 40,00   Resposta: D

(Fuvest 2013)  Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original.

1. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
2. b) Quanto recebeu cada um deles?

Resposta: (a) 6  (b) 1800 reais

Essas duas questões apresentam exatamente a mesma ideia em suas respectivas resoluções. Em aulas sou até mais ousado em dizer que as questões são IGUAIS! Poderia, inclusive, apresentar três outras questões com, exatamente, a mesma ideia e que foram propostas em concursos diferentes, como no vestibular da UNESP, em um período menor que 10 anos. Por fim, quando chegar a semana que antecede as provas que irão participar, eu sugiro que os alunos apenas leiam resoluções de questões antigas, com o intuito de aumentar seu leque de ideias e não baixar a autoestima com um possível não acerto de alguma questão.

Durante a preparação para os vestibulares, a aquisição efetiva de conteúdos por meio das aulas assistidas e tarefas realizadas é um pilar fundamental para a tão sonhada aprovação. Porém, a familiarização com os diferentes tipos de provas e, principalmente, as estratégias de execução de cada uma delas é também um outro ponto decisivo nesse processo. Nesse sentido, é importante que, de maneira programada e estruturada, o vestibulando inclua em sua rotina de estudos a realização dos simulados das provas que almeja prestar.

Nesse contexto, vale lembrar que o vestibular em si é um concurso em que a nota do candidato é comparada à nota dos demais participantes. Sendo assim, vale reforçar um ponto de atenção: evitar a realização de provas e simulados como se fosse uma prova do ensino médio, em que a superação de uma nota mínima é suficiente para avançar para próxima fase. Em nossa experiência com conversas e atendimentos de alunos, podemos verificar uma grande quantidade de vestibulandos que realizam os simulados de modo improvisado, sem a definição de qualquer estratégia de resolução. Ou um fato ainda mais crítico: vestibulandos que não realizam uma reflexão genuína após o simulado em relação às estratégias que funcionaram ou as que devem ser abandonadas em uma próxima simulação.

Para melhor aproveitar os simulados que são feitos ao longo do ano e se tornar um vestibulando mais competitivo, eis algumas dicas valiosas:

1. Cultive os registros

Os simulados são ótimas oportunidades para identificar a sequência de execução de matérias que funciona melhor para você. Antes da realização do simulado, reflita bastante e registre em um caderno de anotações a sequência das matérias que você seguirá em um determinado tipo de prova. Devemos lembrar que essa sequência é específica, ou seja, a ordem das matérias em uma prova da 1ª fase da Fuvest deve ser bem diferente quando comparada ao 1º dia do Enem que, por sua vez, é distinta em relação ao 2º dia do Enem.

2. Faça uma análise após o simulado

Após realizar o simulado, faça uma análise madura das estratégias que deram certo e as registre no mesmo caderno de anotações. Mais importante ainda: identifique as estratégias que não deram certo, anotando-as para que não cometa os mesmos erros no futuro. De preferência, esse procedimento deve ser feito no mesmo dia do simulado, aproveitando o “calor do momento”, pois a tendência é que no dia seguinte esqueçamos desses eventos. Seguindo esse fluxo, você cria uma espiral de melhoria a cada simulado realizado!

3. Ainda mais registros…

Além da sequência das matérias, é fundamental também que se tenha anotado outros elementos rotineiros que compõem o momento da prova. Mais do que isso, eles devem ser lidos repetidamente com muita atenção antes da execução de cada exame. Eis alguns exemplos:

– Verificar sempre o comando da questão antes de assinalar a alternativa;

– Evitar a “paixão” por questões que demandam mais tempo para que sejam resolvidas ao final da prova, mesmo que sejam de matérias que você tem afinidade;

– Em muitas questões, é possível apenas ler o comando e já partir para as alternativas, conquistando um tempo extra para resolver outras questões mais complexas;

–  Nas questões que demandam contas, muitas vezes é possível realizar contas aproximadas, evitando o desperdício de tempo. Nesse caso, vale verificar se há um bom distanciamento numérico entre as alternativas de modo a “calibrar” as aproximações.

Os exames vestibulares no Brasil já existem há mais de século. Eles foram instituídos em 1911, pela Lei Rivadávia Corrêa (ela leva o nome do Ministro do Interior da época), que estabelecia a obrigatoriedade de exames de admissão para o ingresso de alunos em instituições de ensino superior.

Durante essa longa existência, as provas de vestibular passaram por várias alterações, tanto em relação ao formato (inicialmente havia uma fase com exame oral!), quanto ao conteúdo. Já há duas décadas, acompanhamos uma tendência de mudança de muitas dessas provas, que foram de uma abordagem extremamente técnica e direta (“resolva”, “calcule”, “simplifique”, …) para questões interpretativas e contextualizadas. Hoje, a maioria dos principais vestibulares do país utilizam esse tipo de questões, que exigem do estudante um conjunto único de habilidades para serem resolvidas.

Na Matemática, a contextualização se dá principalmente de duas maneiras. Na primeira, os exercícios procuram relacionar fenômenos ou acontecimentos da realidade com representações matemáticas. Isso pode envolver organizar dados de uma observação ou pesquisa em tabelas, gráficos ou matrizes; relacionar o movimento de um corpo no espaço tridimensional a uma representação bidimensional; interpretar escalas de mapas ou maquetes; identificar as formas geométricas que melhor descrevem  objetos da realidade; ou mesmo estabelecer a lei de formação de funções que modelam certos eventos.

Na segunda, os problemas partem dessas representações e exigem do estudante que ele as relacione com conceitos matemáticos, ou que utilize ferramentas matemáticas para analisar os fenômenos que elas descrevem. Exemplos desse tipo de abordagem incluem calcular o volume de uma bola de futebol (supondo que ela tem formato perfeitamente esférico); determinar o tempo necessário para encher uma piscina, a partir de informações sobre o seu formato e a vazão da mangueira utilizada; encontrar a maneira de utilizar uma certa quantidade de arame para cercar uma região retangular, de maneira a maximizar sua área; descobrir o volume de suco concentrado necessário para preparar um refresco com concentração específica; calcular a probabilidade de ser premiado em diferentes tipos de loteria e, com base nisso, decidir qual aposta é a melhor (ou menos pior); escolher a melhor forma de comprar um produto (à vista ou a prazo) com base na taxa de juros do parcelamento e das opções de investimento disponíveis.

Como a Matemática é utilizada para descrever quase tudo o que acontece ao nosso redor, são inúmeros os exemplos de aplicações que podem ser usadas para contextualizar uma questão.  Dessa maneira, não é proveitoso que o estudante tente se preparar estudando quais delas podem ser abordadas (é impossível sequer listá-las todas!). É sempre útil lembrar que, em última instância, a prova é de Matemática; a contextualização é tão somente um pano de fundo para a questão, uma maneira de a banca examinadora verificar se você consegue interpretar uma situação prática, extrair dali os dados relevantes e então desenvolver corretamente a análise matemática adequada para a situação.  Assim, é mais proveitoso que o vestibulando foque em treinar:

• como extrair as informações importantes do enunciado: grife os valores numéricos fornecidos e palavras que remetam a conceitos matemáticos (descrição de formas, especificação do valor inicial de uma função ou de sua taxa de variação; palavras que remetam a operações matemáticas como “para cada”, entre outros);
• como identificar qual área da Matemática é melhor aplicada para lidar com aquela situação e, dentro dessa área, quais os conceitos matemáticos relacionados com o que está sendo pedido: se é um exercício sobre formas geométricas bidimensionais, recairemos em Geometria Plana, se o assunto é encontrar o lucro máximo a partir de uma função quadrática, utilizaremos o vértice de uma parábola, ou se é necessário encontrar o número de maneiras em que uma situação pode se desdobrar, provavelmente utilizaremos o princípio multiplicativo de Análise Combinatória;
• e, por fim, como desenvolver a análise e os cálculos a partir da modelagem dada/encontrada.

Para garantir uma boa preparação, pode ser uma ideia dividi-la em etapas: primeiro, faça exercícios mais técnicos e diretos para garantir que você tenha absorvido corretamente os conceitos importantes para o aprendizado daquele conteúdo e que você seja capaz de efetuar as análises típicas relacionadas àquele assunto; em seguida, treine exercícios contextualizados que ajudem a desenvolver as habilidades interpretativas que permitam que você transforme a descrição do problema em uma representação matemática adequada para a resolução do problema.

Por fim, o conhecimento acerca do estilo de prova dos principais vestibulares em que você está interessado também vai deixá-lo mais bem preparado para encarar esses exames e ter um bom desempenho ao final do processo. Bons estudos e boa prova!

Você já deve ter ouvido que a Matemática é a rainha das ciências. Essa frase, atribuída a Carl Friedrich Gauss (um brilhante matemático que viveu entre os séculos XVIII e XIX), nasce da observação de que, enquanto a maior parte das ciências trata de uma gama específica de assuntos, a Matemática provê métodos e ferramentas que ajudam a pensar e modelar problemas que muitas vezes não parecem ter muito a ver com seu campo de atuação. O estudo de funções pode ajudar a prever o clima ou fazer parte do projeto de um novo modelo de avião; a estatística é parte fundamental da epidemiologia e das ciências sociais; a análise combinatória encontra espaço no projeto de jogos, estipulando a quantidade de cenários possíveis de serem encontrados. E, como a base comum que sustenta todos esses assuntos, encontramos os conjuntos.

“Toda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noção de conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser expressos. Ela é também a mais simples das ideias matemáticas.” (Elon Lages Lima)

Fundamentalmente, um conjunto é uma coleção de objetos. Por “objetos” você pode entender qualquer coisa: podemos definir o conjunto das comidas preferidas de uma certa pessoa, das camisetas presentes no seu armário, dos números pares positivos ou mesmo o conjunto formado por todos os três conjuntos anteriores. Naturalmente, na Matemática de Ensino Médio, são mais frequentes os conjuntos numéricos: eles aparecem, por exemplo, no estudo de números, organizando-os em naturais, inteiros, racionais e reais; em equações e inequações, agrupando suas soluções válidas; no estudo de funções, especificando o universo dos valores válidos para as variáveis; na probabilidade, no conceito de espaço amostral.

Para além de sua importância fundacional na Matemática, os conjuntos ajudam a resolver problemas bastante práticos, os quais também aparecem nos exames com frequência: situações em que dada população é subdividida em grupos menores, de cujos tamanhos conhecemos algumas informações.  Por exemplo: se numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História, quantos alunos gostam das duas disciplinas?

Nesse problema, é essencial perceber que os 30 alunos estão, na verdade, divididos em quatro grupos disjuntos:

– os que gostam apenas de Matemática;

– os que gostam apenas de História;

– os que gostam das duas disciplinas;

– os que não gostam de nenhuma delas.

Assim, a informação do enunciado de que 16 alunos gostam de Matemática se refere, na verdade, a dois dos grupos: aos alunos que gostam apenas de Matemática e aos que gostam de Matemática e de História. A soma dessas duas quantidades é igual a 16. De maneira análoga, a soma da quantidade de alunos que gostam apenas de História e dos que gostam de Matemática e de História é igual a 20. Se não conhecermos o número de pessoas que faz parte da interseção dos conjuntos considerados (nesse caso, os conjuntos são definidos por “gostar de História” e “gostar de Matemática”), podemos representar esse valor por uma incógnita e encontrar o número de elementos dos outros conjuntos em função dela.

Em suma, os conjuntos são a base da linguagem com que a Matemática é descrita, e, assim, é essencial para o vestibulando ser capaz de ler enunciados e escrever resoluções fazendo uso dela. Assim como problemas contextualizados exigem habilidades de leitura e interpretação de texto, problemas teóricos demandam proficiência na linguagem de conjuntos para serem compreendidos. E entender o que propõe o enunciado é o primeiro e mais importante passo a ser dado para resolver cada problema.

Na obra “Liber Abaci” (1202), Leonardo Fibonacci introduziu na Europa a numeração árabe e descreveu métodos de calcular sem a utilização do ábaco. Nela, encontramos o seguinte problema:

Sete mulheres velhas estão indo para Roma;

Cada uma delas tem sete mulas;

Cada mula carrega sete sacos;

Cada saco contém sete pães;

Cada pão tem sete facas;

Cada faca tem sete bainhas;

Qual é o número total de coisas?

Escrito por Leonardo de Pisa, o problema nos remete às técnicas de contagem, assunto tratado no estudo da Análise Combinatória. O problema envolve conceitos, a princípio, básicos, de adição e multiplicação – pilares do ensino de combinatória.

Os problemas de contagem, base da aritmética, enunciam os princípios aditivo e multiplicativo que nos ajudam a resolver as situações do cotidiano que a combinatória nos apresenta. Diferentes agrupamentos, como arranjos, permutações e combinações, nos convidam a adentrar num universo que, muitas vezes, fazemos no dia a dia e não percebemos: a tomada decisões.

As diversas formas de arrumar as roupas num armário, livros numa estante ou mesmo formar duplas para um jogo de baralho numa reunião social, fazem com que apliquemos os conceitos de agrupamentos, permeando a pergunta mais importante desse assunto: a ordem importa?

Ora, trocar livros de lugar numa estante ou as roupas no armário envolve grupos diferentes, logo, a ordem importa, ao passo que A formar dupla com B para o jogo de baralho é o mesmo que B jogar com A, independentemente da ordem em que foram escolhidos. Esse assunto requer dos estudantes um cuidado especial com a formulação do problema. A interpretação do enunciado – aspecto muito cobrado na habilidade leitora dos alunos – exige certa abstração do raciocínio e, muitas vezes, o exercício de reduzir a situação em um caso menor é necessário. Mesmo que o hábito de contar seja aprendido desde cedo, enumerar as situações de contagem apresentadas nos problemas de combinatória pode se tornar um enorme desafio quando optamos por pensar diretamente na situação proposta em vez de reduzi-la.

Imagine a situação: você vai a um restaurante onde existem 3 opções de entrada, 6 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa. Para calcular o total de possibilidades de fazer um pedido completo, reduza o raciocínio a uma pergunta simples: o que você deseja escolher? A resposta: escolher uma entrada e um prato principal e uma sobremesa. O princípio fundamental da contagem nos mostra que o total de possibilidades é dado por 3 6 4 = 72 opções. Note que para cada opção de entrada tem-se 6 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa. Logo, o princípio multiplicativo resolve a questão, bem como o problema escrito por Leonardo de Pisa.

Essa proximidade com situações cotidianas e a possibilidade de resolução da maioria das questões sem o uso de fórmulas fazem com que esse conteúdo seja frequente nos exames vestibulares e no Enem. O temor dos alunos ao se deparar com questões de combinatória pode ser atenuado tanto com o desenvolvimento da habilidade de representação e ordenação do raciocínio lógico nas diversas formas em que os problemas se apresentam. Entender que cada situação é única e buscar padrões que envolvam grupos com características semelhantes são ótimos caminhos para o aprendizado significativo desse conteúdo.

Imagine uma loja que vende um modelo de smartphone oferecendo duas opções de pagamento: à vista, ele custa R$900,00; a prazo, pagam-se duas parcelas de R$500,00 – uma no ato da compra e outra dali a um mês. Não é difícil perceber que o total pago quando se escolhe parcelar o pagamento é maior do que a quantia paga à vista. Mas por que isso acontece?

Ao comprar o celular e escolher o pagamento a prazo, você recebe um produto que vale R$900,00, mas paga à loja, no ato da compra, apenas uma parcela de R$500,00. Você ainda fica devendo R$400,00 – e é por isso que o preço a prazo é mais caro do que o preço à vista. Nessa situação, é como se a loja emprestasse R$400,00 para o cliente finalizar a compra e a segunda parcela do pagamento quitasse o empréstimo.

Quando certa quantia é emprestada a alguém, cobra-se de quem toma o empréstimo uma taxa pelo direito de uso do dinheiro até a data do pagamento. Essa taxa, chamada de juro, é uma forma de compensar o emprestador por não poder dispor desse dinheiro durante o período do empréstimo. O juro é o preço da dívida.

Esse preço é usualmente calculado como uma porcentagem do valor devido. No exemplo anterior, dos R$900,00 que correspondem ao custo do celular, R$500,00 foram pagos no ato da compra; restou, ainda, uma dívida de R$400,00. A segunda parcela do pagamento foi de R$500,00, ou R$100,00 a mais do que o valor devido: essa quantia adicional corresponde a juros. A taxa de juros é medida comparando os juros com o valor total da dívida: nesse caso, temos 100 ÷ 400 = 0,25 ou 25% de taxa de juros mensal, já que a dívida foi quitada após um mês.

Juros aparecem em diversas situações cotidianas. Eles estão presentes nas compras a prazo, nas taxas extras que incidem sobre contas atrasadas e em aplicações financeiras. Há dois tipos de juros: simples e compostos.

Os juros simples são calculados como uma porcentagem fixa do valor inicialmente emprestado/investido (chamado de capital ou valor principal). Nesse regime, o pagamento devido por período independe da duração da dívida, pois os juros calculados ao fim de cada período não são adicionados ao valor principal para cálculo dos juros dos períodos seguintes. Se você pegar R$1000,00 emprestados a uma taxa de 20% ao ano no regime de juros simples, você deverá pagar 20% de R$1000,00 = R$200,00 por ano até que a dívida seja quitada. Para quitar o empréstimo após três anos, deve-se pagar R$1000,00 + 3 ⋅ R$200,00 = R$1600,00.

Os juros compostos, no entanto, não são calculados apenas sobre o valor inicialmente emprestado/investido, mas, sim, sobre a dívida total acumulada. Os juros de cada período são somados ao valor principal e esse total é utilizado como base para cálculo dos juros do período seguinte. Por conta disso, juros compostos também são chamados de juros sobre juros. Considere novamente o exemplo em que você pega R$1000,00 emprestados a uma taxa de 20% ao ano, mas agora no regime de juros compostos, e acompanhe a evolução da dívida na tabela seguinte.

Observando a tabela, notamos que, no primeiro ano, a dívida aumentou R$200,00; no segundo, R$240,00; e, no terceiro, R$288,00. No regime de juros compostos, os juros crescem constantemente e de maneira cada vez mais rápida. Por conta desse comportamento exponencial, investimentos feitos nesse regime podem crescer de maneira inesperada ao longo do tempo. Da mesma maneira, dívidas podem se acumular rapidamente e logo fugir do controle. Tome cuidado com as suas finanças!

Sendo um assunto de grande importância prática, juros aparecem com frequência em exames vestibulares. Questões sobre juros compostos, que costumam ser mais trabalhosas, demandam um bom domínio de funções exponenciais e logaritmos. O montante acumulado em uma aplicação sujeita a juros compostos cresce segundo uma progressão geométrica, o que torna comum, também, a utilização de conceitos de progressões em questões de matemática financeira. Por fim, o manejo de porcentagens também se prova essencial para lidar com as diferentes taxas. Uma familiaridade com esses assuntos vai garantir um bom desempenho nos exercícios de juros dos exames vestibulares – e, de quebra, ajudar a manter o equilíbrio nas suas finanças.

*Por Ricardo Mendes Nunes, professor do Anglo Vestibulares

Ao contrário do que muitos alunos pensam, logaritmo é uma ferramenta que veio para ajudar, ao invés de complicar.

Na prática, em todo problema que tiver uma incógnita no expoente, usaremos logaritmo, pois logaritmo é um expoente.

Pensando no conceito de logaritmos, devemos lembrar que:

Trocando por números: 2 elevado a quanto dá 8? Se você respondeu 3, você respondeu que 2 elevado a

Repare que podemos ainda escrever que:  , pois como foi dito, logaritmo é um expoente.

As principais propriedades são:

Essas propriedades são usadas nos problemas propostos em que as incógnitas estão localizadas nos expoentes, e podem ser os mais variados problemas, por exemplo: no campo da Biologia, o crescimento de uma população de bactérias; em Geografia, o crescimento populacional; em Química, a desintegração de uma substância radioativa; na Matemática Financeira, o estudo de juros.

No passado, não existia calculadora e fazer uma conta como 32×64 dava um certo trabalho. Então, pensava-se em transformar esses fatores em potências, por exemplo de 2, e escrevia-se o produto assim:

E, em vez de fazermos um produto, fazíamos uma soma de expoentes que era bem mais simples, e os valores desses logaritmos eram buscados em uma tábua de logaritmos funcionando como uma calculadora e, assim, resolviam-se facilmente os cálculos:

Problema: Corta-se uma folha de papel ao meio e juntam-se as partes. Corta-se novamente ao meio e juntam-se as partes e assim sucessivamente. Quantos cortes devo dar numa folha de papel (espessura igual a 0,05mm) para que a altura de papel resultante seja do tamanho do Pico do Everest?

Devemos perceber que x cortes geram 2^x folhas.

Adotando 8840m como a altura do Pico do Everest, temos:

Impressionante!

*Por Rodney Brasil Luzio, professor do Anglo Vestibulares

Babilônios e egípcios, muitos séculos atrás, já se aventuravam a desvendar os conceitos da trigonometria a partir de suas necessidades para as navegações, astronomia e agricultura. A palavra trigonometria vem do grego: trigono (triângulo) + metria (medida). Trata-se do estudo das relações que se estabelecem entre ângulos e os comprimentos dos lados de um triângulo.  Hiparco (pai da trigonometria), Aristarco, Ptolomeu e Ariabata são alguns exemplos de matemáticos que na antiguidade realizaram estudos que alicerçaram a trigonometria e hoje usamos, muitas vezes sem perceber.

Subir uma escada ou alterar a inclinação da esteira na academia estão diretamente ligados ao ângulo entre a “rampa” e o solo. As razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente) são de extrema utilidade para nos ajudar a calcular os comprimentos envolvidos nessas situações.

Observe o triângulo retângulo abaixo:

Nele, definem-se as principais razões trigonométricas seno, cosseno e tangente:

Na prática, observe que quanto maior for o ângulo de inclinação (θ) entre o solo e a esteira, por exemplo, maior será o esforço aplicado na atividade pretendida. Na mesma linha de raciocínio, os exames cobram conhecimentos ligados a questões que envolvem altura de prédios, altura de torres e comprimento das margens de um rio, entre outros. É importante observar que, na maioria dos casos, uma representação geométrica cuidadosa e fiel, a partir de um desenho, e a aplicação dos conceitos básicos da trigonometria (como as razões acima citadas), aliados aos conceitos básicos de geometria plana (como semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras) resolvem tais problemas.

O que observamos nos últimos anos em muitos exames, sobretudo no Enem, é a verificação da capacidade do vestibulando em relacionar conceitos, seja na própria Matemática, seja entre disciplinas como a Geografia e a Física. Estabelecer relações entre os conceitos de latitude e longitude ou aplicar os conceitos de ângulos aplicados à aerodinâmica são esperados dos alunos.

Outro exemplo que pode ser dado é o sistema de posicionamento global (GPS), que utiliza o conceito de triangulação para determinar, a partir do sinal de receptores, a localização de um corpo. Os cálculos das medidas dos ângulos envolvidos nessa situação, bem como a distância entre os receptores, podem necessitar dos conceitos das razões trigonométricas utilizando ângulos obtusos. A partir dos já conhecidos seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°, e lembrando que ângulos suplementares (que somam 180°) possuem senos iguais e cossenos opostos, tem-se que sen 120° = sen 60° e cos 120° =  -cos 60°. Da mesma maneira, sen 135° = sen 45° e cos 135° =  -cos 45°.

Os conceitos citados também podem ser cobrados a partir das estruturas das funções trigonométricas. Fenômenos das marés, lançamento de uma pedra num lago, passeios em rodas gigantes ou questões que envolvam máximos e mínimos representam modelagens de situações periódicas, conceito fundamental de tais funções. Nessas situações, é importante lembrar a definição de período – tempo necessário para se realizar uma oscilação completa – e a consequente relação com os ângulos da situação em questão. Veja um exemplo de fenômeno periódico:

Assim, na preparação para os exames que se aproximam, é de fundamental importância estar atento aos conceitos básicos de trigonometria citados e saber relacioná-los com os conteúdos de geometria plana e de outros componentes curriculares. Além disso, deve-se experimentar resolver questões das provas anteriores. Estar familiarizado com a prova que você irá prestar é imprescindível para o seu sucesso.

Bons exames!

* Por Rodney Brasil Luzio, professor do Anglo Vestibulares.

Olhe ao seu redor. As formas geométricas são parte integrante do nosso cotidiano e definem algumas relações com os espaços em que vivemos. A geometria deve ir além do cálculo de perímetros, áreas e volumes. Identificar formas geométricas e saber relacioná-las pode ser, muitas vezes, um exercício mental que fazemos intuitivamente, mesmo sem saber conceitos específicos de figuras planas ou espaciais.

Ao caminhar por uma praça – circular, quadrada ou retangular – e escolher o melhor (menor) caminho para percorrê-la, usamos desde habilidades elementares, como o conhecimento de uma diagonal, usando o teorema de Pitágoras, ou do comprimento de um arco de circunferência, a conceitos elaborados, envolvendo redes ou grafos pela análise de grandezas como tempo, distância ou perdas, muito utilizados em pesquisas em Engenharia ou Ciência da Computação.

Outro exemplo do cotidiano pode ser observado ao irmos ao supermercado e nos depararmos com produtos que possuem embalagens formadas por figuras semelhantes com tamanhos e preços diferentes. Qual delas vale mais a pena levar?  A capacidade de relacionar elementos abstratos com estruturas algébricas pode ser útil nessa situação. Ao observarmos uma flor, um fractal ou o corpo humano, facilmente identificamos elementos geométricos por meio de simetrias ou razões entre seus elementos. A proporcionalidade, seja por meio de conceitos presentes em medições lineares, seja em cálculos de áreas, é uma ferramenta que merece um olhar cuidadoso e que pode responder a questões do tipo: quanto vale? Quanto cabe?

Podemos também identificar elementos de geometria durante uma diversão.  Num jogo de bilhar, o formato da mesa, a angulação de posicionamento do taco em relação à bola e os ângulos de incidência e reflexão em cada tacada são fatores que podem contribuir para o êxito de um jogador numa partida. Ele precisa realmente saber matemática para ganhar? Não! Mas, se souber, a probabilidade de ganhar pode aumentar.

Assim, os conteúdos de geometria, elaborados ou não, estão presentes no dia a dia e podem exigir habilidades, aparentemente complexas, que terão maior êxito à medida que estruturas simples forem assimiladas de forma consistente, com significados claros e representativos. Identificar, relacionar, inferir, argumentar, extrapolar e concluir são atributos que desenvolvem de maneira muito eficaz o raciocínio lógico matemático, útil em qualquer atividade humana. Quem nunca se deparou com uma obra em sua casa e enfrentou situações que necessitavam de uma solução geométrica? Ou, ao arrumar objetos, necessitou decidir qual a melhor forma de recipiente que deveria usar?

Exercite e qualifique o seu olhar. Observe por meio de perspectivas. Olhe de novo ao seu redor. A geometria está por aí.