* Por Rodney Brasil Luzio, professor do Anglo Vestibulares.

Olhe ao seu redor. As formas geométricas são parte integrante do nosso cotidiano e definem algumas relações com os espaços em que vivemos. A geometria deve ir além do cálculo de perímetros, áreas e volumes. Identificar formas geométricas e saber relacioná-las pode ser, muitas vezes, um exercício mental que fazemos intuitivamente, mesmo sem saber conceitos específicos de figuras planas ou espaciais.

Ao caminhar por uma praça – circular, quadrada ou retangular – e escolher o melhor (menor) caminho para percorrê-la, usamos desde habilidades elementares, como o conhecimento de uma diagonal, usando o teorema de Pitágoras, ou do comprimento de um arco de circunferência, a conceitos elaborados, envolvendo redes ou grafos pela análise de grandezas como tempo, distância ou perdas, muito utilizados em pesquisas em Engenharia ou Ciência da Computação.

Outro exemplo do cotidiano pode ser observado ao irmos ao supermercado e nos depararmos com produtos que possuem embalagens formadas por figuras semelhantes com tamanhos e preços diferentes. Qual delas vale mais a pena levar?  A capacidade de relacionar elementos abstratos com estruturas algébricas pode ser útil nessa situação. Ao observarmos uma flor, um fractal ou o corpo humano, facilmente identificamos elementos geométricos por meio de simetrias ou razões entre seus elementos. A proporcionalidade, seja por meio de conceitos presentes em medições lineares, seja em cálculos de áreas, é uma ferramenta que merece um olhar cuidadoso e que pode responder a questões do tipo: quanto vale? Quanto cabe?

Podemos também identificar elementos de geometria durante uma diversão.  Num jogo de bilhar, o formato da mesa, a angulação de posicionamento do taco em relação à bola e os ângulos de incidência e reflexão em cada tacada são fatores que podem contribuir para o êxito de um jogador numa partida. Ele precisa realmente saber matemática para ganhar? Não! Mas, se souber, a probabilidade de ganhar pode aumentar.

Assim, os conteúdos de geometria, elaborados ou não, estão presentes no dia a dia e podem exigir habilidades, aparentemente complexas, que terão maior êxito à medida que estruturas simples forem assimiladas de forma consistente, com significados claros e representativos. Identificar, relacionar, inferir, argumentar, extrapolar e concluir são atributos que desenvolvem de maneira muito eficaz o raciocínio lógico matemático, útil em qualquer atividade humana. Quem nunca se deparou com uma obra em sua casa e enfrentou situações que necessitavam de uma solução geométrica? Ou, ao arrumar objetos, necessitou decidir qual a melhor forma de recipiente que deveria usar?

Exercite e qualifique o seu olhar. Observe por meio de perspectivas. Olhe de novo ao seu redor. A geometria está por aí.

Fermat

A família de Fermat era de comerciantes. Ele foi educado para se tornar advogado, na cidade francesa de Toulouse, e ganhou a vida com essa profissão. Exerceu, durante algum tempo, o cargo de conselheiro do parlamento de Toulouse. Embora a matemática fosse apenas um hobby para Fermat, ele conseguia se dedicar por bom tempo a essa atividade. Contribuiu com resultados de primeira classe para a teoria dos números e do cálculo.

As contribuições de Fermat para o cálculo geométrico e infinitesimal foram inestimáveis. Obtinha, com os seus cálculos, a área de parábolas e hipérboles, e determinava o centro de massa de vários corpos. Em 1934, foi descoberta uma nota de Isaac Newton, na qual dizia que o seu cálculo, antes considerado como invenção autônoma, fora baseado no “método de Fermat para estabelecer tangentes” como relatado em “Isaac Newton – A biography”, de More, L. T.

Além dessa referência de peso dada por Newton, Fermat iniciou o trabalho sobre a probabilidade. Como todos os matemáticos de seu século, ele trabalhou em problemas de ciência e contribuiu de forma duradoura para a óptica. A maioria dos resultados de Fermat é conhecida através de cartas que ele escreveu para amigos. Ele publicou apenas alguns artigos, sendo que vários (livros e artigos) foram publicados após sua morte.

Assim, Fermat sempre trabalhou com a Matemática de forma amadora, dedicando apenas seu tempo de lazer. Por conta de suas grandes contribuições, foi considerado o “Príncipe dos Amadores”, além de ser tido por Blaise Pascal (que também merece menção especial) o maior matemático de seu tempo.

Descartes

Descartes foi o primeiro grande filósofo moderno, um fundador da biologia moderna, um físico de primeira classe e apenas incidentalmente um matemático. No entanto, quando um homem de seu poder de intelecto dedica parte de seu tempo a um assunto, seu trabalho não pode deixar de ser significativo.

Seu pai, um advogado moderadamente rico, enviou-o aos oito anos de idade para a escola jesuíta de La Fleche. Como ele tinha saúde delicada, podia passar as manhãs na cama, tempo em que trabalhava. Descartes seguiu essa rotina ao longo de sua vida. Aos dezesseis anos, saiu de La Fleche e, aos vinte anos, ele se formou na Universidade de Poitiers, já exercendo a advocacia, e foi a Paris. Na capital francesa conheceu Mydorge e o padre Marin Mersenne e passou um ano com eles no estudo da Matemática. Durante o período em que serviu ao exército, continuou a estudar Matemática. Sua capacidade de resolver um desafio postado em um outdoor na Holanda o convenceu de que ele tinha habilidade matemática, a partir desse fato ele começou a pensar seriamente nesse assunto. Estudou a teoria e a construção de instrumentos ópticos. Na Holanda escreveu suas obras famosas. Em 1649 foi convidado a instruir a rainha Cristina da Suécia, movido pela honra e pelo glamour da realeza, ele aceitou. Morreu em decorrência de pneumonia em 1650.

Sobre um Trabalho Comum

Descartes fez da metodologia objetivo principal em todo o seu trabalho. Seus ensinamentos e escritos tornaram-se populares, mesmo entre os não-cientistas, porque ele os apresentou de forma muito clara e atrativa. Sua popularidade veio, principalmente em 1637, por conta da publicação de seu Discours de la méthode (Discurso do método). Este livro, um clássico da literatura e da filosofia, contém três apêndices famosos, La Géométrie, La Dioptrique e Les Météores. La Géométrie é o único livro que Descartes escreveu sobre matemática, ele contém suas ideias sobre geometria de coordenadas e álgebra, embora ele tenha comunicado muitas outras ideias sobre Matemática em numerosas letras.

Fermat alega ter buscado uma abordagem universal (o que os gregos não conseguiram fazer) a problemas envolvendo curvas que o fascinaram pelo trabalho de Apolônio. Declarou seu princípio geral: “Sempre que, em uma equação final, duas quantidades desconhecidas são encontradas, temos um lugar geométrico“. Fora isso fez outras tantas conclusões como os conceitos de Elipse, Hipérbole e Parábola.

Assim, é fato que as necessidades da ciência e o interesse pela metodologia motivaram Fermat e Descartes. Ambos eram preocupados com métodos gerais para estudar curvas. Além disso estavam impressionados com o poder da álgebra para fornecer o método. Fermat e Descartes voltaram-se para a aplicação da álgebra ao estudo da geometria. Dessa forma, é atribuído a eles o surgimento da Geometria Analítica, cuja ideia central é a associação de equações algébricas com curvas e superfícies.

Lição

Isso tudo traz reflexões que não podem passar despercebidas. Os fundadores da Geometria Analítica não são matemáticos de carreira acadêmica. Surge uma necessidade de facilitar situações mais complexas que, com o uso dessa ferramenta, ficariam mais simples.

Assim, você, vestibulando, deve lembrar que esse assunto não foi criado para atrapalhar a sua vida. O intuito é que isso lhe propicie uma maneira alternativa de resolver questões que parecem mais difíceis quando resolvidas por outra estratégia. Fermat e Descartes perceberam isso sem aviso prévio. Os vestibulandos todos sabem da existência desse recurso; mas, às vezes, não percebem que um assunto pode ser mais facilmente resolvido por esse método. É importante criar o hábito de perceber que, por mais que a questão não fale sobre isso, a Geometria Analítica vem a calhar em várias situações.

Aplicá-la para resolver outras questões talvez seja a diferença entre não ter a menor ideia do que fazer para solucionar o problema e acertar uma questão. Começar a cogitar. Faça parte da história!

Geometria do Espaço é um daqueles temas que sempre são cobrados nos vestibulares e no ENEM. Portanto, ter domínio desse assunto e ter algumas estratégias na hora de encarar as questões faz grande diferença em seu desempenho.

Nesse contexto, há uma pergunta que sempre é feita pelos alunos:

É possível criar estratégias para reconhecer propriedades de figuras tridimensionais?

A resposta é um grande SIM! Com algumas dicas e um pouco de organização você pode acertar muitas questões de Geometria do Espaço. Vamos a elas.

I. A primeira dica é algo que vale para todas as disciplinas, fique atento ao que está acontecendo no mundo. Um grande exemplo são as Olimpíadas no Rio, a quantidade de situações em que a Geometria Espacial surge naturalmente é enorme, desde o cálculo do volume de uma bola de basquete, passando pela quantidade de água numa piscina até a representação do movimento do giro de um atleta no lançamento do disco.

II. Sempre que possível, faça uma boa figura para representar o problema. Em muitos exercícios, reconhecer triângulos em um corte num sólido, permite aplicar relações de semelhança ou o teorema de Pitágoras e, a partir daí, responder as perguntas feitas.

Representação de uma secção meridiana de um cone e uma esfera inscrita nesse cone. Os triângulos retângulos ADO e ABC são semelhantes.

III. Cuidado com pequenas confusões! Fique ligado: quando você lê prisma, não desenhe uma pirâmide! (o mesmo vale para cilindro e cone).

IV. Para exercícios que cobrem a descrição de movimentos no espaço tridimensional e suas representações em um plano, procure colocar-se na situação do observador, posicionando o objeto entre você e o plano. Por exemplo:

Em uma gangorra, se buscamos a projeção do movimento no solo, imagine-se olhando de cima. Caso a projeção seja em um muro, “coloque-se” de modo a ter a gangorra entre você e o muro.

V. Em provas de múltipla escolha, cuidado com as alternativas! Frequentemente as bancas examinadoras colocam alternativas erradas em que algum equívoco previsível foi cometido. Ele pode ser um erro de cálculo, uma interpretação errada no texto ou uma projeção diferente da que foi pedida.

Com estas dicas e um pouco de treino, e claro conhecendo a teoria, você certamente conseguirá acertar muitos exercícios nos vestibulares.

Agora é com você, bom trabalho e sucesso!

Geometria do Espaço é um daqueles temas que sempre são cobrados tanto nos vestibulares como no ENEM e, portanto, dominá-lo, e também ter algumas estratégias na hora de encarar questões desse assunto, pode fazer uma grande diferença em seu desempenho.

Nesse contexto, uma pergunta que sempre é feita pelos alunos é a seguinte: é possível criar métodos para reconhecer propriedades de figuras tridimensionais?

A resposta é um grande SIM! Com algumas dicas e um pouco de organização, você pode acertar muitas questões envolvendo Geometria do Espaço.

Vamos a elas:

I. A primeira dica é algo que vale para todas as disciplinas. Fique antenado com o que está acontecendo no mundo. Um grande exemplo foram as Olimpíadas no Rio; a quantidade de situações em que a Geometria Espacial surge naturalmente é enorme, desde o cálculo do volume de uma bola de basquete, passando pela quantidade de água em uma piscina, até a representação do movimento do giro de um atleta no lançamento de disco.

II. Sempre que possível faça uma boa figura para representar o problema. Em muitos exercícios reconhecer triângulos em um corte em um sólido, permite aplicar relações de semelhança ou o teorema de Pitágoras e, a partir daí, responder às perguntas feitas.

Representação de uma secção meridiana de um cone e uma esfera inscrita nesse cone. Os triângulos retângulos ADO e ABC são semelhantes.

III. Cuidado com pequenas confusões! Fique ligado: quando você lê prisma, não desenhe uma pirâmide! (o mesmo vale para cilindro e cone).

IV. Em exercícios que cobram a descrição de movimentos no espaço tridimensional e suas representações em um plano, procure se colocar na situação de observador, posicionando o objeto entre você e o plano. Por exemplo, em uma gangorra se buscamos a projeção do movimento no solo, imagine-se olhando de cima. Caso a projeção seja em um muro, “coloque-se” de modo a ter a gangorra entre você e o muro.

V. Em provas de múltipla escolha, cuidado com as alternativas! Frequentemente, as bancas examinadoras colocam alternativas erradas em que algum equívoco previsível foi cometido. Pode ser desde uma falha de cálculo, uma interpretação errada no texto ou uma projeção diferente da que foi pedida.

Com essas dicas e um pouco de treino, conhecendo a teoria, você certamente conseguirá acertar muitos exercícios nos vestibulares e no Enem.

Agora é com vocês, bom trabalho e sucesso!