A análise combinatória no dia a dia

Por Rodney Luzio, professor do Anglo Vestibulares

Na obra "Liber Abaci" (1202), Leonardo Fibonacci introduziu na Europa a numeração árabe e descreveu métodos de calcular sem a utilização do ábaco. Nela, encontramos o seguinte problema:

Sete mulheres velhas estão indo para Roma;

Cada uma delas tem sete mulas;

Cada mula carrega sete sacos;

Cada saco contém sete pães;

Cada pão tem sete facas;

Cada faca tem sete bainhas;

Qual é o número total de coisas?

Escrito por Leonardo de Pisa, o problema nos remete às técnicas de contagem, assunto tratado no estudo da Análise Combinatória. O problema envolve conceitos, a princípio, básicos, de adição e multiplicação – pilares do ensino de combinatória.

Os problemas de contagem, base da aritmética, enunciam os princípios aditivo e multiplicativo que nos ajudam a resolver as situações do cotidiano que a combinatória nos apresenta. Diferentes agrupamentos, como arranjos, permutações e combinações, nos convidam a adentrar num universo que, muitas vezes, fazemos no dia a dia e não percebemos: a tomada decisões.

As diversas formas de arrumar as roupas num armário, livros numa estante ou mesmo formar duplas para um jogo de baralho numa reunião social, fazem com que apliquemos os conceitos de agrupamentos, permeando a pergunta mais importante desse assunto: a ordem importa?

Ora, trocar livros de lugar numa estante ou as roupas no armário envolve grupos diferentes, logo, a ordem importa, ao passo que A formar dupla com B para o jogo de baralho é o mesmo que B jogar com A, independentemente da ordem em que foram escolhidos. Esse assunto requer dos estudantes um cuidado especial com a formulação do problema. A interpretação do enunciado – aspecto muito cobrado na habilidade leitora dos alunos – exige certa abstração do raciocínio e, muitas vezes, o exercício de reduzir a situação em um caso menor é necessário. Mesmo que o hábito de contar seja aprendido desde cedo, enumerar as situações de contagem apresentadas nos problemas de combinatória pode se tornar um enorme desafio quando optamos por pensar diretamente na situação proposta em vez de reduzi-la.

Imagine a situação: você vai a um restaurante onde existem 3 opções de entrada, 6 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa. Para calcular o total de possibilidades de fazer um pedido completo, reduza o raciocínio a uma pergunta simples: o que você deseja escolher? A resposta: escolher uma entrada e um prato principal e uma sobremesa. O princípio fundamental da contagem nos mostra que o total de possibilidades é dado por 3 6 4 = 72 opções. Note que para cada opção de entrada tem-se 6 opções de prato principal e 4 opções de sobremesa. Logo, o princípio multiplicativo resolve a questão, bem como o problema escrito por Leonardo de Pisa.

Essa proximidade com situações cotidianas e a possibilidade de resolução da maioria das questões sem o uso de fórmulas fazem com que esse conteúdo seja frequente nos exames vestibulares e no Enem. O temor dos alunos ao se deparar com questões de combinatória pode ser atenuado tanto com o desenvolvimento da habilidade de representação e ordenação do raciocínio lógico nas diversas formas em que os problemas se apresentam. Entender que cada situação é única e buscar padrões que envolvam grupos com características semelhantes são ótimos caminhos para o aprendizado significativo desse conteúdo.